微分中值定理是微分学应用的理论基础。是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。能熟练的应用中值定理确实是一件不易的事,尤其是辅助函数的引入，更是变化多样。下文给出微分中值定理在一些证明题中的巧用。

一、微分中值定理的主要应用

1. 证明等式；2. 证明恒等式；3. 证明不等式； 4. 讨论方程实根（或函数零点）的存在性。

二、掌握微分中值定理应用方法的关键

——在分析解题思路时，必须紧紧抓住 “定理”、“函数”、“区间”三要素

“定理” ——适用定理的选择

“函数” ——辅助函数的构造

“区间” ——讨论区间的确定。

三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法

方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

方法二：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

方法三：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

微分中值定理证明试题范例

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

(1)证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η

(2) 证明：构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1